Nel mondo della musica, la ricerca della perfezione ha spesso dovuto fare i conti con le leggi della matematica. Uno degli esempi più emblematici di questa tensione tra bellezza e precisione numerica è rappresentato dal comma pitagorico, un minuscolo scarto matematico che ha influenzato profondamente la costruzione delle scale musicali e l’evoluzione degli strumenti a intonazione fissa.
Cos’è esattamente il comma pitagorico?
Il comma pitagorico è una piccola discrepanza matematica che emerge quando si tenta di costruire una scala musicale basandosi esclusivamente su quinte giuste.
Per comprendere a fondo il significato di questo fenomeno, è necessario fare un passo indietro e considerare il modo in cui Pitagora e i suoi seguaci cercavano di ordinare i suoni secondo rapporti numerici semplici e armonici.
Le quinte giuste e la matematica musicale
Una quinta giusta è un intervallo tra due suoni le cui frequenze stanno nel rapporto di 3:2. Questo rapporto veniva considerato perfetto dagli antichi greci, in quanto espressione di armonia naturale.
Se prendiamo una nota con frequenza di 200 Hz, la nota una quinta sopra avrà frequenza:
200 × 3/2 = 300 Hz
Costruendo una scala salendo sempre di quinta in quinta – ovvero, moltiplicando la frequenza di partenza per 3/2 dodici volte – si ottiene una successione di dodici note. Dopo dodici quinte, ci si aspetterebbe di tornare alla stessa nota di partenza, ma trasposta di alcune ottave superiori. Tuttavia, il risultato ottenuto matematicamente non coincide esattamente con la nota di partenza al livello superiore.
I numeri parlano chiaro
Vediamo cosa accade esattamente da un punto di vista numerico:
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Salendo di 12 quinte giuste, otteniamo:
(3/2)¹² = 129.7463379
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Salendo di 7 ottave, otteniamo:
2⁷ = 128
Il rapporto tra questi due risultati è:
(3/2)¹² / 2⁷ = 129.7463379 / 128 ≈ 1.013643265
Questa piccola differenza, pari a circa l’1.364%, è ciò che chiamiamo comma pitagorico.
Dalla tabella si può capire, che procedendo per quinte giuste successive, poi si incorre nel comma pitagorico, tornando al La di partenza
all'undicesimo passaggio.
Il significato musicale del comma pitagorico
Dal punto di vista musicale, questo errore corrisponde a circa 23.46 cent, ossia quasi un quarto di tono. Un intervallo apparentemente insignificante all’ascolto singolo, ma sufficiente a causare stonature evidenti nel contesto degli strumenti musicali a intonazione fissa, come organi, clavicembali e pianoforti.
Il problema diventa particolarmente evidente quando si cerca di intonare una scala costruita per quinte giuste: la dodicesima quinta, teoricamente identica alla nota di partenza trasposta di 7 ottave, risulta invece più acuta. Questo fa sì che la scala non “chiuda” su sé stessa in modo perfetto, ma presenti una sfasatura acustica e strutturale.
La “quinta del lupo” e la necessità di una soluzione
Nel medioevo e nel rinascimento, i costruttori di strumenti e i teorici della musica si scontrarono con questo limite. Alcuni tentativi di accordatura evitavano di usare quinte perfette in tutti i punti della scala, lasciando che una sola quinta, spesso tra Sol# e Mib, contenesse tutto lo scarto del comma. Questa quinta risultava evidentemente stonata, e fu chiamata “quinta del lupo” per il suo suono sgradevole e “ululante”.
Per evitare questo effetto, si cominciarono a cercare soluzioni alternative: nacquero i sistemi di temperamento, che cercavano di distribuire lo scarto del comma pitagorico su più intervalli.
Il temperamento equabile: una risposta moderna
Con l’evoluzione della musica tonale e la necessità di modulare tra tonalità diverse senza incorrere in evidenti stonature, si arrivò al temperamento equabile, oggi utilizzato su tutti gli strumenti a tastiera moderni.
Nel temperamento equabile:
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L’ottava viene divisa in 12 parti uguali, ovvero 12 semitoni equidistanti (ciascuno di 100 cent),
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Ogni quinta viene leggermente abbassata rispetto alla quinta giusta (di circa 2 cent),
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Il comma pitagorico viene uniformemente distribuito su tutta la tastiera.
Questo compromesso consente:
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La possibilità di suonare in tutte le tonalità senza stonature evidenti,
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La realizzazione di modulazioni armoniche fluide,
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L’eliminazione delle quinte del lupo.
Il valore simbolico e filosofico del comma pitagorico
Il comma pitagorico non è solo un problema tecnico di costruzione delle scale musicali. È anche un simbolo filosofico: rappresenta il limite della perfezione matematica applicata alla realtà sensibile.
Pitagora e i suoi seguaci credevano che l’universo fosse regolato da proporzioni armoniche perfette. Ma proprio nella musica, che doveva essere l’espressione suprema di questa armonia, si manifesta un’imperfezione ineliminabile, che costringe ad abbandonare l’ideale puro per accogliere il compromesso pratico.
Questa discrepanza ha stimolato per secoli la riflessione teorica, la sperimentazione musicale e l’evoluzione degli strumenti. Senza il comma pitagorico non avremmo avuto la necessità di creare nuovi temperamenti, né la possibilità di sviluppare la polifonia e la musica modulare.
Conclusione
Il comma pitagorico dimostra che la musica non può essere costruita solo su numeri perfetti. È un “errore” che ha avuto un ruolo cruciale nella storia della musica, influenzando la teoria, la pratica esecutiva e l’organologia.
Una piccola frattura nel sogno di perfezione pitagorica, ma anche il motore di una straordinaria evoluzione: l’imperfezione che genera creatività, la dissonanza che spinge alla ricerca, la matematica che, proprio quando non torna, diventa arte.
